Un sistema de numeración establece unas reglas para formar entidades abstractas llamadas números, dichas reglas no son más que condiciones que se cumplen, o no, bajo varios paradigmas.
Las condiciones o reglas de generación que encierran como resultado un número de operaciones en un bucle infinito no deben ser consideradas conjuntos válidos en la teoría.
Si la condición del conjunto nombrado por expresión contiene una regla de estados y un orden operacional dado (como en el caso de los sistemas de numeración), siendo la regla de estados indefinida, o nula, al no incluir ningún valor o cantidad mensurable, el resultado o cardinalidad del conjunto será igualmente nula o inexpresable formalmente.
Si no es posible representar en una cardinalidad definida el número de elementos o miembros de un conjunto, dicho conjunto al no poder cerrarse, no será considerado como tal y por lo tanto será una forma no válida de representación.
Acaso si el algoritmo de la división no contuviese una regla de estados, no tendríamos forma de articular un orden operacional.
De la misma forma definir un orden operacional sin restricción produce como resultado un bucle sin final posible, que vulgarmente y de forma imprecisa denominamos cómo: infinito.
Si la cardinalidad de un conjunto apunta a infinito, no estamos hablando de un conjunto, porque la propia idea de límite se difumina en nuestra mente.
Al no ser posible cerrar el conjunto, el contenido de este escapa y se vuelve inconjuntable, ya que su cardinalidad no puede fijar ninguna cantidad específica.
Representar lo irrepresentable ha sido un obstáculo para la teoría de conjuntos estándar, sobre todo por un afán de llevar las cosas estirando los conceptos más allá de sus límites razonables.
Además los conjuntos infinitos son inoperativos.
La razón igualmente importante es la referencia a todos los elementos pertenecientes a un conjunto. Así, si ideamos por expresión el conjunto de los números primos, es posible solicitar… que alguien referencie al último elemento de ese mismo conjunto de los números primos. Al no poder satisfacer esa demanda nos es imposible operar con el conjunto y cualquier resultado de intentarlo nos conducirá a errores o paradojas.
