Lógica modal y términos analíticos

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1. ¿Por qué lógica modal?

Imagina que no basta con saber si una proposición es verdadera o falsa en un único escenario. A veces necesitamos expresar que algo es necesario (ocurre en todos los escenarios posibles) o posible (ocurre en al menos uno). La lógica modal añade a la lógica clásica dos operadores:

• □ p: “necesariamente p”
• ◇ p: “posiblemente p”

Con ellos podemos formular distinciones sutiles, como diferenciar entre la verdad de las matemáticas (necesaria) y la contingencia de los sucesos diarios.

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2. El Tercer Reino de Frege

Gottlob Frege postuló un espacio extra­mental e intemporal donde residen las entidades abstractas: números, proposiciones, conceptos. En ese “Tercer Reino”:

• Las leyes de la lógica y las matemáticas son verdades necesarias.
• Cada teorema clásico es también una fórmula modal □ p: ocurre en todas las situaciones imaginables.

De este modo, la lógica modal se convierte en la llave que abre la puerta a ese dominio de certezas absolutas.

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3. Juicios sintéticos a priori de Kant

Immanuel Kant distinguió:

• Analíticos: verdaderos por definición (p. ej. “un triángulo tiene tres lados”).
• Sintéticos a posteriori: requeridos por la experiencia (p. ej. “hoy llueve”).
• Sintéticos a priori: agregan información nueva pero gozan de necesidad universal, como la aritmética básica o la geometría. Por ejemplo, “en todo triángulo la suma de ángulos es 180°” no se deduce solo de la definición de “triángulo”, pero es ineludible en cualquier mundo posible (□).

Así, Kant anticipaba la idea de que hay leyes útiles y necesarias que no provienen únicamente del análisis conceptual.

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4. Axioma Tríadico y ejemplos en física

Podemos capturar cualquier ley de la forma “a = b × c” como un axioma modal. Definimos un predicado de tres argumentos R(a,b,c) que cumple:

1. Existencia: siempre existe una relación R que vincula a, b y c.
2. Coherencia: R(a,b,c) ↔ (a = b × c).
3. Simetría: R(a,b,c) ↔ R(a,c,b).
4. Invertibilidad: a y b determinan c de manera única, y a y c determinan b.
5. Cierre aritmético: las divisiones correspondientes dejan resto cero.

Encapsulado en lógica modal:

□ ∃R [R(a,b,c) ↔ a = b·c ∧ simetría ∧ invertibilidad ∧ resto cero]

4.1. Ley de Ohm

• Variables: voltaje V, corriente I, resistencia R.
• Relación: V = I · R.
• Interpretación modal: esa ecuación es necesaria en el reino de la física ideal.

4.2. Movimiento Rectilíneo Uniforme

• Variables: espacio recorrido s, velocidad constante v, tiempo t.
• Relación: s = v · t.
• En lógica modal: en cualquier escenario ideal s siempre será v × t.

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