El conjunto-protocolar: un marco absoluto contra la paradoja de Russell

Introducción

Imaginemos que queremos reunir todo en una sola colección. En teoría de conjuntos, esto sugiere un conjunto universal que contenga a todos los objetos de estudio (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre). Sin embargo, esa noción ilimitada lleva a contradicciones. Aquí es donde entra en juego la idea del conjunto-protocolar: un conjunto absoluto que sirve de “fondo” o marco de referencia para definir todos los demás conjuntos y objetos lógicos, pero que no es un objeto más dentro de ellos. Dicho de forma simple, es como el escenario donde ocurre la obra, que permite que los actores (los conjuntos operables) existan y se relacionen, sin que el escenario mismo sea uno de los actores.

Un conjunto absoluto como fondo estructural

Para entenderlo paso a paso, partamos de la intuición de un “conjunto de todos los conjuntos”. Este sería un conjunto absoluto que incluye a cualquier colección concebible. Al pensar en él, surgen dos restricciones fundamentales que definen al conjunto-protocolar:

• Inoperabilidad interna: El conjunto-protocolar no puede usarse en las operaciones habituales de la teoría. No podemos tomarlo como elemento de otro conjunto ni aplicar sobre él construcciones como “el conjunto de sus subconjuntos”, etc. Es un límite, no una herramienta operativa.
• No autoreferencia: Por construcción, el conjunto-protocolar no puede ser miembro ni siquiera de sí mismo. De hecho, no es miembro de ningún conjunto. Esto significa que no podemos tomar al “todo” y tratarlo como una parte dentro de sí mismo. En términos lógicos, no se puede predicar de sí mismo ninguna propiedad, porque no es un objeto del lenguaje interno de la teoría.

En otras palabras, el conjunto-protocolar actúa como el “universo del problema”: abarca todo lo que queremos considerar, pero permanece fuera del alcance de las operaciones y definiciones que ocurren dentro de ese universo. Esta idea refleja la práctica de la teoría de conjuntos moderna, que distingue entre conjuntos manejables y colecciones demasiado grandes llamadas clases propias. Por ejemplo, la colección de todos los conjuntos (a menudo denotada $V$) no se considera un conjunto en las teorías estándar, sino una clase que sirve de dominio de discurso (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre). El conjunto-protocolar es equivalente a esa clase universal: proporciona un contexto total pero no es en sí mismo un conjunto ordinario.

Ejemplos intuitivos de un marco que no es elemento

Podemos ilustrar esta idea con ejemplos cotidianos:

• El catálogo y la biblioteca: Imagina una biblioteca que intenta tener un catálogo de todos sus libros. El catálogo actúa como el marco que enumera cada libro de la biblioteca. Si intentáramos incluir el catálogo dentro de sí mismo (como si el catálogo fuera también un libro listado en sus páginas), obtendríamos confusión infinita. La solución sensata es que el catálogo no es uno de los libros de la biblioteca; es un instrumento externo que lista el contenido. Análogamente, el conjunto-protocolar es como ese catálogo total: engloba a todos los conjuntos relevantes, pero no es uno de los “libros” listados en él, evitando cualquier auto-referencia.
• El escenario y los actores: Pensemos en una obra de teatro. Todos los actores actúan sobre un escenario. Desde luego, el escenario en sí no es un actor – no participa en la obra como personaje. Cumple la función de sostener la actuación sin intervenir como uno de los actores. Del mismo modo, el conjunto-protocolar es el “escenario” donde viven todos nuestros objetos lógicos (los conjuntos ordinarios), pero nunca actúa él mismo como objeto dentro de la obra lógica.

Estos ejemplos subrayan la misma idea: existe un marco o totalidad que contiene a todos los elementos de interés, pero dicho marco no puede ser tratado como uno más de esos elementos sin incurrir en problemas. El conjunto-protocolar, en cuanto conjunto absoluto, define el límite de lo que podemos considerar conjunto operable.

(File:SetComplement.svg – Wikimedia Commons) Representación de un conjunto universal $U$ (rectángulo azul) que sirve de marco, y un conjunto particular $A$ (ovalo blanco) contenido en él. El conjunto-protocolar funciona como ese “universo $U$”: abarca a todos los conjuntos particulares sin ser él mismo uno más entre ellos. (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre) (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre)

La paradoja de Russell y la autoreferencia

Antes de ver cómo el conjunto-protocolar elimina ciertas paradojas, recordemos la famosa paradoja de Russell. Bertrand Russell señaló una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos al considerar “el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos” (Paradoja de Russell – Wikipedia, la enciclopedia libre). Formulada de manera informal, es análoga a la paradoja del barbero:

• En un pueblo, un barbero anuncia que afeita a todos aquellos que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Si el barbero se afeita a sí mismo, entonces contradiría su anuncio (pues solo afeita a quienes no se afeitan solos). Pero si no se afeita a sí mismo, entonces debería afeitarse (¡porque él entra en el grupo de quienes no se afeitan solos!). No hay salida lógica: la situación es contradictoria.

En términos de conjuntos, pensemos en una colección $R$ definida así: $R$ = { $x$ | $x$ es un conjunto y $x$ ∉ $x$ }, es decir, $R$ contiene a todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos (Paradoja de Russell – Wikipedia, la enciclopedia libre). Ahora preguntamos: ¿$R$ es miembro de sí mismo?

• Si $R$ ∉ $R$ (es decir, si $R$ no se contiene a sí mismo), entonces por su definición $R$ debería contener a $R$ (porque $R$ cumple la condición de pertenecer a $R$ al no pertenecer a sí mismo).
• Por otro lado, si $R$ ∈ $R$ (si $R$ sí es miembro de sí mismo), entonces $R$ no debería contenerse (porque solo contiene a aquellos conjuntos que no son miembros de sí mismos).

En cualquier caso obtenemos contradicción: $R$ estaría dentro de $R$ si y solo si no está dentro de $R$. Esta paradoja indicó a los matemáticos a principios del siglo XX que la noción “ingenua” de conjunto (donde cualquier condición lógica define un conjunto) era problemática (Paradoja de Russell – Wikipedia, la enciclopedia libre). En particular, asumir la existencia de un conjunto absolutamente universal (uno que contenga todos los conjuntos) conduce a que $R$ exista como conjunto, y por tanto a la contradicción de Russell (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre).

¿Cómo soluciona esto el concepto de conjunto-protocolar? Fundamentamente, impidiendo que formulemos tal situación auto-contradictoria en primer lugar.

El conjunto-protocolar disuelve la paradoja

Volvamos a la idea del conjunto-protocolar como marco límite. Este “conjunto absoluto” abarca a todos los conjuntos operables, pero no puede entrar él mismo en ninguna definición interna. ¿Qué pasa si intentamos recrear la paradoja de Russell bajo esta nueva regla?

Para construir la paradoja necesitábamos hablar del “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos”. Observemos la trampa: usamos la expresión “todos los conjuntos” como si eso fuera un conjunto en sí (justamente $R$ se define referido a ese todo). En el enfoque del conjunto-protocolar, no existe un conjunto de “todos los conjuntos” dentro del sistema. La totalidad de conjuntos está dada por el conjunto-protocolar, pero este no es un conjunto operable del cual podamos tomar subconjuntos. En otras palabras, la comprensión que generaría a $R$ ya no está permitida: $R$ no puede definirse como un subconjunto del conjunto-protocolar porque el conjunto-protocolar no es un conjunto corriente del cual extraer miembros (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre).

Desde esta perspectiva, si alguien pregunta “consideremos el conjunto $R$ de todos los conjuntos (dentro del conjunto-protocolar) que no se contienen a sí mismos…”, la respuesta es: esa definición no es legítima. No hay tal objeto $R$ dentro del universo de conjuntos operables, porque nuestra teoría no autoriza construir conjuntos a partir del todo absoluto. El conjunto-protocolar es un marco, no un contenedor manipulable. Por ello:

• No podemos incluir al conjunto-protocolar en sí mismo (evitando directamente el caso $V ∈ V$, que sería problemático (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre)).
• No podemos formar el “subconjunto $R$” paradójico, ya que ello requeriría recorrer todos los conjuntos operables desde una perspectiva externa que el sistema no concede. $R$ sería en realidad una clase (una colección concebible) pero no un conjunto dentro del sistema (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre).

El resultado es que la pregunta crítica de la paradoja de Russell –“¿es $R$ miembro de sí mismo o no?”– ni siquiera tiene cabida. Al no existir $R$ como conjunto operable, no hay dilema que resolver. En el marco del conjunto-protocolar, la paradoja se disuelve por inaplicabilidad: hemos cambiado las reglas del juego de tal modo que la jugada que llevaba a la contradicción ya no está permitida.

Conclusión

El concepto de conjunto-protocolar propone un límite absoluto para nuestro universo lógico: un “todo” que proporciona el contexto para definir conjuntos, pero que no es en sí mismo uno de esos conjuntos. Siguiendo esta idea paso a paso, vimos que:

1. Un conjunto absolutamente universal, si se tratara como conjunto ordinario, genera problemas de autorreferencia (Paradoja de Russell).
2. Definir un marco total (conjunto-protocolar) inhabilitado para pertenecer a algo, incluso a sí mismo, previene cualquier construcción autorreferente.
3. Esto nos permite desarrollar la lógica y la teoría de conjuntos dentro de ese marco sin miedo a contradicciones, puesto que nunca podremos “dar un salto fuera del cuadro” para que el todo se incluya a sí mismo.

En suma, el conjunto-protocolar actúa como un “marco límite”: hace posible hablar de todos los conjuntos operables de manera coherente, precisamente porque no es uno de ellos. La paradoja de Russell, originada por intentar meter al conjunto universal dentro de sí mismo, queda fuera de juego. Al no poder convertir el marco absoluto en un objeto del discurso, evitamos la autorreferencia problemática desde el inicio (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre). La elegancia de esta solución está en su simplicidad conceptual: lo que sirve de fondo no puede a la vez ser figura. Así, la lógica queda a salvo, sustentada por un universo que la contiene pero que no compite en el mismo nivel que sus objetos, asegurando rigurosamente que ninguna paradoja autorreferencial pueda siquiera plantearse.

Fuentes: La paradoja de Russell y la noción de evitar un conjunto universal se discuten en el contexto de las clases propias en teoría de conjuntos (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre) (Conjunto universal – Wikipedia, la enciclopedia libre), siguiendo la solución axiomática estándar propuesta tras los trabajos de Russell y otros pioneros.